CUADRÁTICA EN VIDA REAL

EJERCICIO DE CUADRÁTICA EN VIDA REAL 

Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba, la altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros en función del tiempo medido en segundos se calcula atreves de la siguiente formula. 

H(t)= -5x^{2 +}  20t + 0

A= 5

B=20

C=0

Ecuación cuadrantica

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax² + bx + c igual a cero.
a x² + bx + c = 0
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x² + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10

3x²  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x² + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

 EJERCICIO

1. Vértice

x _v = - (-4) / 2 = 2     y _v = 2² - 4· 2 + 3 = -1       

 V(2, -1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² - 4x + 3 = 0

       

(3, 0)      (1, 0) 

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 3)

TRABAJOS AUTÓNOMOS Y TALLERES EN CLASES.....

FUSIÓN CUADRANTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

CONCAVIDAD.-

En la función cuadrática, f(x)= ax² + bx + c, el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

EJEMPLO:

En la función f(x)= x² – 3x – 4,  a=1 y c= -1

Luego, la parábola intersecta al eje y en el punto (0, -4) y es cóncava hacia arriba

EJE DE SIMETRÍA Y VÉRTICE

El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad.

SUSTITUCIÓN

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIÓN

Es el método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente de términos de otras variables de manera que el número toral de incógnitas se reduzca.

PASOS PARA REALIZAR ESTE MÉTODO

• Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

• Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita

• Se resuelve la ecuación

• El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejadas la otra incógnita

• Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

EJEMPLO

Despejemos las incógnitas:

2x = 8 - y

3x - 2y = 5

Ahora intercambiamos términos y resolvemos el ejercicio

y = 8 - 2x

2x + y = 8

x = 8 - y

      2

Una vez ya intercambiados los terminos remplazamos lo valores por las respuestas q salieron.

3x - 2(8 - 2x) = 5

ya habiendo remplazado por los valores realizamos las multiplicación que tenemos en el ejrecicio

3x - 16 + 4x = 5

Una vez multiplicado pasamos las  X al lado izquierdo y a los que no tiene X al lado derecho

3x + 4x = 5 + 16

Una vez pasado las X al lado izquierdo resolvemos las sumas o las restas que tenemos y reducimos

7x = 21

Ahora pasamos el numero q esta multiplicando a la X al otro lado a dividir y simplificamos para reducir términos

       3
x = 21
       7
       1
Y por ultimo obtenemos nuestra respuesta

x = 3

Ahora tomamos la respuesta que nos salio y remplazamos por X y asi obtenemos la respuesta de y

2(3) + y = 8
6 + y = 8
y = 8 - 6
y = 2

IGUALDA

ECUACIONES DE IGUALDAD

MÉTODO DE IGUALDAD

Este método consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver este método de ecuaciones hay que despejar una incógnita, la misma en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejos con los que se obtiene una ecuación de primer grado.

FASES DEL PROCESO

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendola ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer grado.

EJEMPLO DE ESTE MÉTODO

Tenemos un ejercicio planteado para proseguir a resolverlo.

-24x + 21y = 12
24x - 12y = 24

Ahora empesamos a despejar las incógnitas que son (x) (y) y sacar el resultado que esta pidiendo.

-24x = 12 - 21y                X= 12 – 21y

                                                 24

24x = 24 + 12y                X=24 + 12y

                                                24

Una vez que hemos puestos en sus respectivos lugares los terminos pasamos a seguir resolviendolos.

           -24(12 - 21y) = 24(24 + 12y)

Despúes de haber puestos los terminos en sus respesctivos lugares procedemos a multiplicarlos. 

12 – 21y                          24 + 12y

         -24                                     24  

288-504y                         -576-288y

Una vez q esta multiplicado el ejercicio nos queda de la siguiente manera

   288 - 504y = -576 - 288y

   - 504y + 288y = -576 - 288

             -216y = 864

                        4

                  Y = 864

                       216 

                        1

                   Y = 4

Ahora despejamos (X) e intercambiamos valores y nos da el resultado. del despeje de (X).

X = 12 – 21 (4) 

         24

Una vez despejado y multiplicado, restado o sumado nos queda de respuesta lo siguiente.

     3

X = 72

    24

     1

x = 3  

COMPROBACIÓN

Ahora tomamos las dos respuesta que obtubimos y la remplazamos por (x) y (Y)     

                  24(3) - 12 (4) = 24

                  72 - 48 = 24

                        24 = 24

graficos

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función polinomio de primer grado, es decir, una función cuya representaciones el plano cartesiano es una linea recta. esta función se puede escribir como; donde m y b son constantes reales; x, y es una variable real.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1. Se despeja la función
2. Se constituye una de colores, basta con dos planos
3. Se unen los puntos por una linea recta, prolongándola de tal modo que este representada en todo el plano.

PASOS NECESARIOS PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN

Hasta ahora sabíamos representar las funciones elementales utilizando las propiedades de estas, pero ya estamos en condiciones de representar cualquiera.

Se las puede representar siguiendo estos pasos:

1. Dominio
2. Puntos de corte en los ejes
3. Signos de la función
4. Asintonas y ramas infinitivas
5. Monotonía y extremos relativos
6. Curvatura y puntos

EJEMPLOS DE GRÁFICOS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON ENUNCIADOS

PRESENTACIÓN DE DIAPOSITIVAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON ENUNCIADOS

PRESENTACIÓN DE DIAPOSISITVAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON ENUNCIADOS

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:

                      ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero, Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

SOLUCIÓN


La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es siempre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solucion por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que la solucion es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobretodo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.
La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde n es la solución. cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable esta despejada.

PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LA SOLUCIÓN

Para encontrar la solución se ralizan varias operaciones sobre los dos miebros de la ecución utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las opoeracion inversas.

Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un numero, se multiplican por un número, se dividen etre un número, se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.

Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.

 

Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al segundo miembro.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =) porque contiene a la variable.

El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros

El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =) porque no contiene a la variable.

El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros

Se reducen términos semejantes

   2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x

                3x = 18

El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

            (3x)/3 = (18)/3

                  x = 6

Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.

         2(6) + 3 = 21 - (6)

         12 + 3 = 15

             15 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente

Ejercicios

EJERCICIOS EN CLASES

Primero cambiamos las x al lado izquierdo

3x  +  3  =  3x  -2

5      15     10

Una vez que las x estan al lado derecho sacamos el minimo comun divisor

3x  +  3X  =  3   -2

5      10      15

Despues de haber sacado el minimo comun divisor procedemos a multiplicar y a simplificarlo por cada termino

6X-3X   =  -3-30

 10            15

Ya simplificado y multiplicado resolvemos las restas o las sumas q hay en el numerador

3X   =  -33

 10       15

Ahora simplificamos para reducir

             11

3X   =  -33

 10       15

            5

En esta ocasion la fracion q esta a lado de la x pasamos al otro lado a dividir 

3X   =  11

 10       5

Una vez ya pasadas vemos que podemos simplificar 

          11

X   =    5

          3 

         10 

Ya simplificado ahora vemos que podemos multiplicar extremos con extremos y medios con medios

          11

X   =    1

          3 

          2      

Y por ultimo obtenemos nuestra respuesta

X   =    22 

            3